Ахрик Цвейба  родился 10 сентября 1966 года в городе Гудаута. Начал играть в футбол в 11 лет. В 17 лет его пригласили в сухумское «Динамо», которое выступало во второй лиге чемпионата СССР.

«Именно в играх за сухумскую команду меня и заметили селекционеры из Тбилиси. Но их опередили тренеры из Хабаровска. Хабаровский СКА тогда выступал в первой лиге. А мне как раз хотелось попробовать себя на более серьезном по сравнению со второй лигой уровне. Да и срок армейской службы подходил. Меня в сухумском «Динамо» от армии ведь тоже могли бы уберечь. Но предложение СКА мне показалось более интересным. Армейцев тогда тренировал небезызвестный Леонид Назаренко. Правда, в Хабаровске я пробыл всего полгода. Обо мне вспомнили в Тбилиси, и вскоре я отправился в «Динамо»... Помню еще, как первый раз на тренировку тбилисцев меня привел мой первый тренер Владимир Шамба. У него, кстати, много известных воспитанников: Гогричиани, Хагба, Губаз. Году в 1988 мы все вместе вышли в основном составе «Динамо». Владимир Астамурович был так рад за нас...» – вспоминает Цвейба.

Ахрик Цвейба выступал за СКА (Хабаровск), «Динамо» (Тбилиси), «Динамо» (Киев), КамАЗ (Набережные Челны), «Гамба Осака» (Япония), «Алания» (Владикавказ), «Пудонг» (Китай), «Уралан» (Элиста), «Динамо» (Москва).

В чемпионатах СССР Ахрик Цвейба провел 123 матча, забил 1 гол, за киевское «Динамо» - 91 матч, 2 гола. В чемпионатах России - 11 матчей.

«На тренировках, во время игры для футболиста не должно быть авторитетов. Существуют только мяч, соперник и футбольные правила», – считает Ахрик Цвейба.

Ахрик Цвейба – участник чемпионата Европы - 1992 (8 матчей, из них 2 в финальном турнире). Был включен в состав сборной ФИФА в товарищеском матче со сборной России (18.08.1997 г., Россия – ФИФА,  0:2) в ознаменование 850-летия Москвы и 100-летия российского футбола.

В 1990 году Ахрика Цвейба в сборную СССР пригласил главный тренер Валерий Лобановский, который возглавлял тогда и киевское «Динамо». Он играл за сборную и при Анатолии Бышовце. Сыграл 17 матчей за сборную. Затем команда прекратила свое существование. Из-за травмы не смог принять участие в чемпионате мира 1990 года.

Футболист завершил карьеру в 2001 году в московском «Динамо».

12 июня 2024 года, во время торжественной  церемонии открытия Игр стран БРИКС в Казани Ахрик Цвейба вышел с государственным  флагом Республики Абхазия во главе команды абхазских спортсменов.